“미적분은 이과 과목이니까 인문계열인 나와는 상관없다”고 생각하기 쉽습니다.
하지만 ‘한없이 가까워지면 결국 닿는가’를 묻는 극한, ‘순간의 변화’를 붙잡으려는 미분, ‘변화를 쌓아 전체를 복원하는’ 적분은 철학자와 역사가가 오래 씨름해 온 질문과 놀랄 만큼 닮아 있습니다.
이 글에서는 미적분Ⅰ의 세 단원을 철학·역사·문학·문헌정보의 질문과 연결한 탐구주제 8개를, 연결 단원과 탐구 방법까지 한 번에 정리했습니다.
이 글의 기준 2022 개정 교육과정 일반선택 과목 미적분Ⅰ을 기준으로 합니다. 미적분Ⅰ은 다항함수를 중심으로 극한·미분·적분을 다루며, 많은 학교에서 2학년 2학기에 배웁니다. 수열의 극한·급수, 지수·삼각함수의 미분처럼 미적분Ⅱ에서 배우는 내용이 필요한 주제는 제외했습니다. 과목 편성 시기는 학교마다 다를 수 있으니 우리 학교 교육과정 편제표를 함께 확인하세요.
미적분Ⅰ 단원별 인문계열 탐구주제 한눈에 보기
| 대단원 | 연결 개념 | 탐구주제 | 연계 전공 |
|---|---|---|---|
| Ⅰ. 함수의 극한과 연속 | 함수의 극한 | 1. 제논의 역설과 극한 | 철학과 |
| 연속함수의 성질(사잇값 정리) | 2. 역사의 연속과 단절 | 사학과·철학과 | |
| Ⅱ. 미분 | 미분계수의 정의 | 3. 버클리의 미분 비판 | 철학과·사학과 |
| 도함수 | 4. 미분 표기와 사고 | 철학과·언어학과 | |
| 증가·감소, 극대·극소 | 5. 소설 긴장 곡선 | 국어국문학과 | |
| 최댓값·최솟값 | 6. 공리주의와 최적화 | 철학과 | |
| Ⅲ. 적분 | 정적분(변화량의 누적) | 7. 도서관 장서 예측 | 문헌정보학과 |
| 정적분의 활용(속도와 거리) | 8. 대동여지도와 이동 거리 | 사학과·한국사학과 |
Ⅰ. 함수의 극한과 연속 — 인문계열 탐구주제
1. 제논의 역설, 극한으로 다시 읽기 — ‘끝없이 가까워짐’은 도달인가
한 줄 소개 아킬레스가 거북을 영원히 따라잡지 못한다는 고대 역설을 함수의 극한 개념으로 분석하는 철학 탐구입니다.
탐구 동기·배경
고대 그리스의 제논은 아킬레스가 거북이 있던 곳에 닿을 때마다 거북은 이미 조금 앞서 있으므로, 이 과정이 끝없이 반복되어 결코 따라잡을 수 없다고 주장했습니다. 교과서의 “x가 a에 한없이 가까워질 때”라는 표현은 바로 이 역설이 던진 질문과 맞닿아 있습니다.
탐구 방법·확장 아이디어
두 주자의 위치를 시간 t에 대한 일차함수로 세우고, 둘 사이 거리 d(t)가 따라잡는 시각에 가까워질 때의 극한을 계산합니다. 이어 “극한값이 0이다”와 “실제로 0에 도달한다”가 같은 말인지 논증문으로 정리해 보세요.
확장하면 시간을 연속된 흐름으로 보는 관점과 끊어진 순간들의 모음으로 보는 관점을 비교할 수 있습니다. 무한히 많은 구간 길이를 더하는 급수 풀이는 미적분Ⅱ 내용이므로, 여기서는 함수의 극한 관점에 집중합니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 › 함수의 극한
연계 전공 철학과
2. 사잇값 정리로 본 역사의 연속과 단절
한 줄 소개 연속함수의 성질을 빌려 ‘역사는 서서히 변하는가, 한순간에 도약하는가’를 따져보는 역사철학 탐구입니다.
탐구 동기·배경
역사학에서는 시대를 나누는 기준, 즉 시대구분을 두고 오래 논쟁해 왔습니다.
변화가 점진적이었다고 보면 ‘어느 해부터 근대인가’라는 경계는 인위적인 선택이 되고, 혁명 같은 급변을 강조하면 역사는 끊어진 그래프처럼 보입니다. 사잇값 정리는 닫힌구간에서 연속인 함수가 양 끝값 사이의 모든 값을 반드시 지난다는 성질입니다.
탐구 방법·확장 아이디어
국가통계포털(KOSIS) 등에서 도시화율처럼 오랜 기간 기록된 지표를 골라 그래프로 그리고, ‘지표가 50%를 넘은 시점’처럼 사잇값 정리가 존재를 보장하는 지점을 찾습니다.
그다음 그래프가 끊기는 사건이 있는지, 그 지점을 시대구분 기준으로 삼을 수 있는지 토론 글로 정리합니다. 연 단위로 찍힌 점 자료를 연속함수로 볼 수 있는지 스스로 비판해 보는 것도 좋은 확장입니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅰ. 함수의 극한과 연속 › 함수의 연속(사잇값 정리)
연계 전공 사학과, 철학과
Ⅱ. 미분 — 인문계열 탐구주제
3. “사라진 양의 유령” — 버클리의 미분 비판과 극한의 탄생
한 줄 소개 18세기 철학자 버클리가 초기 미적분의 논리적 허점을 비판한 논쟁을 미분계수의 정의로 재구성하는 철학·과학사 탐구입니다.
탐구 동기·배경
조지 버클리는 1734년 『분석가(The Analyst)』에서, 초기 미적분이 아주 작은 양으로 나눴다가 나중에는 그 양을 0처럼 버린다고 지적하며 이를 “사라진 양의 유령”이라 꼬집었습니다. 교과서가 미분계수를 굳이 ‘극한’으로 정의하는 이유가 이 비판과 이어져 있습니다.
탐구 방법·확장 아이디어
f(x)=x²의 x=a에서의 미분계수를
① 작은 양을 계산 끝에 0으로 ‘버리는’ 방식과
② 교과서의 극한 정의 방식으로 각각 구하고, h≠0이라는 조건이 어디에서 쓰이는지 표시합니다.
버클리의 비판이 ②에서 어떻게 해소되는지 논증해 보세요. 19세기에 극한 개념이 엄밀하게 다듬어지는 흐름까지 정리하면 ‘수학의 엄밀함도 역사 속에서 만들어졌다’는 과학철학적 결론으로 확장할 수 있습니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅱ. 미분 › 미분계수(미분계수의 정의)
연계 전공 철학과(논리학·과학철학), 사학과(과학사)
4. dy/dx와 f′(x) — 기호는 생각을 바꿀까
한 줄 소개 뉴턴과 라이프니츠의 서로 다른 미분 표기를 비교하며 기호와 사고의 관계를 묻는 철학·언어 탐구입니다.
탐구 동기·배경
미적분은 뉴턴과 라이프니츠가 비슷한 시기에 각자 발전시켰고, 누가 먼저인지를 두고 격한 우선권 논쟁이 벌어졌습니다. 뉴턴은 문자 위에 점을 찍는 표기를, 라이프니츠는 dy/dx 표기를 썼습니다. 교과서에는 라이프니츠식 dy/dx와 라그랑주식 f′(x)가 함께 등장합니다.
탐구 방법·확장 아이디어
같은 도함수 계산과 접선의 방정식 문제를 세 가지 표기로 각각 풀어 보고, 어떤 표기가 ‘변화량의 비’라는 의미를 잘 드러내는지, 어떤 표기가 계산을 간결하게 하는지 비교표로 정리합니다.
영국이 뉴턴식 표기를 고수한 것이 이후 수학 발전에 영향을 주었다는 평가도 조사해 사실과 해석을 구분해 보세요. 확장하면 ‘언어가 사고를 규정하는가’라는 언어철학 논의로 이어갈 수 있습니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅱ. 미분 › 도함수
연계 전공 철학과, 언어학과, 사학과(과학사)
5. 소설 속 긴장감의 극대·극소 — 플롯을 그래프로 읽기
한 줄 소개 소설의 사건 전개를 ‘긴장도 함수’로 바꾸고 도함수로 증가·감소 구간과 절정을 찾는 문학 탐구입니다.
탐구 동기·배경
국어 시간에 배우는 발단–전개–위기–절정–결말 구성은 사실상 긴장감이 오르내리는 그래프입니다. 도함수의 부호로 증가·감소와 극대·극소를 판정하는 방법을 쓰면 ‘어디가 절정인가’를 감이 아닌 근거로 설명할 수 있습니다.
탐구 방법·확장 아이디어
수업에서 읽은 단편소설을 장면 단위로 나누고, 여러 친구가 장면별 긴장도를 1~10점으로 평가한 평균을 좌표로 찍습니다. 지오지브라 같은 도구로 삼차함수 근사식을 구한 뒤, 도함수가 0이 되는 점과 부호 변화로 극대를 찾아 실제 서사의 절정과 비교합니다.
절정 뒤 급하게 끝나는 작품과 완만하게 마무리되는 작품을 비교해도 좋습니다. 이때 그래프는 해석을 돕는 도구일 뿐, 작품의 가치를 수치로 매기려는 것이 아니라는 한계를 꼭 함께 적으세요.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅱ. 미분 › 도함수의 활용(함수의 증가·감소, 극대·극소) + 국어 문학 영역
연계 전공 국어국문학과, 문예창작학과
6. ‘최대 다수의 최대 행복’을 미분할 수 있을까
한 줄 소개 공리주의의 행복 계산을 최댓값 문제로 모델링하고, 수학적 최적화가 놓치는 윤리적 질문을 따지는 철학 탐구입니다.
탐구 동기·배경
벤담으로 대표되는 공리주의는 사회 전체의 행복 총량을 가장 크게 만드는 선택이 옳다고 봅니다. ‘가장 크게’는 곧 최댓값 문제이고, 미적분Ⅰ에서는 닫힌구간에서 도함수를 이용해 함수의 최댓값과 최솟값을 구합니다.
탐구 방법·확장 아이디어
예산을 두 집단에 x와 1−x의 비율로 나누는 상황을 가정하고, 각 집단의 만족도를 간단한 다항함수로 정해 총합 H(x)의 최댓값을 구합니다.
그 배분에서 소수 집단의 만족도가 어떻게 되는지 확인한 뒤, 가장 불리한 사람의 처지를 기준으로 삼는 롤스의 관점과 비교합니다. ‘행복을 수치로 나타낼 수 있는가’, ‘그 함수는 누가 정하는가’를 결론에서 스스로 묻는 것이 이 탐구의 핵심입니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅱ. 미분 › 도함수의 활용(함수의 최댓값과 최솟값)
연계 전공 철학과(윤리학)
Ⅲ. 적분 — 인문계열 탐구주제
7. 도서관 서고는 언제 가득 찰까 — 장서 증가를 적분으로 예측하기
한 줄 소개 해마다 들어오는 책의 양을 변화율로 보고 정적분으로 누적 장서를 구해 서고 포화 시점을 예측하는 문헌정보학 탐구입니다.
탐구 동기·배경
도서관은 매년 새 자료를 들이지만 서가 공간은 한정되어 있습니다. 변화율을 정적분하면 그 기간의 전체 변화량을 구할 수 있다는 원리를 쓰면 ‘몇 년 뒤 서고가 가득 찰까’를 계산으로 예측할 수 있습니다.
탐구 방법·확장 아이디어
사서 선생님의 협조를 얻어 학교 도서관의 최근 연간 입수 권수를 받고, 이를 일차 또는 이차함수로 근사합니다.
정적분으로 앞으로 몇 년간의 누적 입수량을 구해 현재 장서 수·서가 수용량과 비교하면 포화 시점을 추정할 수 있습니다.
폐기되는 자료 비율을 빼는 모델로 수정하거나, 전자책 전환이 포화 시점을 얼마나 늦추는지, 어떤 책을 남겨야 하는지에 대한 장서 관리 원칙까지 논의하면 전공 적합성이 한층 드러납니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅲ. 적분 › 정적분
연계 전공 문헌정보학과
8. 대동여지도의 10리 눈금과 옛사람의 이동 거리
한 줄 소개 옛 기행 기록 속 이동 속도를 함수로 세우고 정적분으로 이동 거리를 복원해 고지도와 맞춰보는 역사 탐구입니다.
탐구 동기·배경
김정호의 대동여지도(1861)는 도로 위에 10리마다 점을 찍어 거리를 가늠하게 했습니다. 속도 함수를 정적분하면 이동 거리를 구할 수 있다는 교과서 내용을 활용하면, 옛사람들이 하루에 얼마나 움직였는지 추정하고 지도 눈금과 비교할 수 있습니다.
탐구 방법·확장 아이디어
한국고전종합DB에서 번역본을 볼 수 있는 조선시대 일기·기행문 가운데 여정과 날짜가 적힌 부분을 고르고, 평지·고갯길·나루처럼 구간마다 속도가 다른 함수를 설정합니다.
속도 그래프 아래 넓이로 하루 이동 거리를 구해 대동여지도의 10리 눈금 개수와 비교합니다. 도보·말·배 등 이동 수단별 모델을 비교하거나, ‘리(里)’의 실제 길이가 시대마다 어떻게 달랐는지 조사하면 사료 비판 능력까지 보여줄 수 있습니다.
연결 단원 미적분Ⅰ Ⅲ. 적분 › 정적분의 활용(속도와 거리)
연계 전공 사학과, 한국사학과
인문계열 미적분Ⅰ 세특 준비 체크리스트
미적분Ⅰ은 일반선택 과목이라 교과 성취와 수업 속 과정이 함께 드러나는 것이 중요합니다. 과목 유형별 차이는 일반선택·진로선택·융합선택 세특 전략에서 자세히 볼 수 있습니다. 탐구를 마친 뒤 아래 항목을 점검해 보세요.
- 극한·미분·적분 개념이 ‘소재’가 아니라 실제 계산이나 논증의 ‘도구’로 한 번 이상 쓰였는가
- 탐구 질문을 인문학의 언어로 한 문장에 정리할 수 있는가(예: “극한값 0은 도달을 뜻하는가?”)
- 수치화·근사가 가진 한계를 스스로 적었는가
- 과정과 배운 점을 활동보고서·자기평가서로 정리해 선생님께 전달했는가 — 세특은 선생님이 관찰해 기재하는 영역입니다(자기평가서·활동보고서 작성법 참고)
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