미적분1 사회과학계열 탐구주제 10선 — 단원별 세특 아이디어

소득이 올랐는데 손에 쥐는 돈은 오히려 줄어드는 일이 가능할까요? 선거가 가까워질수록 정당들의 공약은 왜 서로 닮아 갈까요? 두 질문 모두 답은 미적분Ⅰ 교과서 안에 있습니다. 제도가 갑자기 끊기는 경계, 변화의 속도, 흩어진 양의 누적을 다루는 미적분은 사회를 해석하는 강력한 도구입니다.

수학 기호만 봐도 머리가 아픈가요? 걱정하지 않아도 됩니다. 그래프를 그리고 복잡한 값을 계산하는 일은 데스모스·지오지브라 같은 무료 도구가 대신 해 줍니다.

여러분에게 필요한 건 사회 문제를 ‘수학의 안경’을 끼고 바라보는 기획력, 그리고 결과를 사회의 언어로 풀어내는 해석력입니다. 그건 사회과학을 좋아하는 여러분이 가장 잘할 수 있는 일이에요.

이 글에서는 미적분Ⅰ의 세 단원(함수의 극한과 연속·미분·적분)별로 정치외교·행정·사회학·사회복지·심리·미디어 전공과 연결되는 탐구주제 10가지를 정리했습니다. 각 주제마다 연결 단원, 탐구 방법, 확장 아이디어, 연계 전공을 함께 제시하니 세특 주제를 고르는 데 바로 활용해 보세요.

※ 2022 개정 교육과정 기준. 미적분Ⅰ은 일반선택 과목으로, 주로 다항함수의 극한·미분·적분을 다룹니다.

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미적분 1 사회과학계열 탐구주제 한눈에 보기

사회과학에서 미적분이 쓰이는 방식은 크게 세 가지입니다. 제도나 행동이 갑자기 바뀌는 ‘경계’를 보는 것(극한과 연속), 변화의 속도와 최적점을 찾는 것(미분), 흩어진 양을 모아 전체를 재는 것(적분)입니다. 아래 표에서 관심 전공에 맞는 주제를 먼저 골라 보세요.

단원	탐구주제	핵심 개념	연계 전공
Ⅰ. 함수의 극한과 연속	1. 1인당 행정비용의 극한	함수의 극한(∞/∞ 꼴)	행정·도시
	2. 복지 수급 ‘절벽’	함수의 연속·불연속	사회복지·행정
	3. 집단행동의 문턱 모형	사이값 정리	사회학·심리
Ⅱ. 미분	4. 근로장려금 그래프의 꺾인 점	미분가능성	사회복지·행정
	5. 가짜뉴스 확산 속도	순간변화율	미디어커뮤니케이션
	6. 출생아 수 감소 속도	평균·순간변화율, 증감	사회학·행정
	7. 긴장과 수행의 역U자 곡선	극대·극소	심리학
Ⅲ. 적분	8. 로렌츠 곡선과 지니계수	정적분과 넓이	사회학·사회복지
	9. 중위투표자 정리	정적분으로 정의된 함수	정치외교
	10. 지하철 누적 승객 수	변화율의 적분(누적)	행정·도시

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Ⅰ. 함수의 극한과 연속 — 사회과학계열 탐구주제

1. 작은 지자체는 왜 1인당 행정비용이 더 들까 — 극한으로 본 규모의 효과

한 줄 소개: 인구 n에 대한 1인당 행정비용 함수를 세우고, 인구가 줄거나 늘 때 비용이 어떤 값에 가까워지는지 극한으로 분석합니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 함수의 극한(∞/∞ 꼴, 한없이 커질 때의 극한) / 통합사회 인구 문제

탐구 동기: 지방소멸 기사에서 인구가 적은 군 지역일수록 주민 1인당 행정 비용이 높다는 내용을 읽고, 그 이유를 수식으로 설명해 보고 싶었다.

탐구 방법: 총비용을 인구와 관계없이 드는 고정비 a(청사 운영, 기본 인력)와 주민 수에 비례하는 비용 bn의 합으로 두고, 1인당 비용 f(n) = (a + bn)/n을 만든다. n→∞일 때 f(n)이 b에 수렴하고, n이 작아질수록 고정비 부담 a/n이 급격히 커진다는 점을 극한과 그래프로 설명한다.

그래프로 구현하기: 데스모스에 f(n) = (a + bn)/n을 입력하고 a, b를 슬라이더로 만든 뒤, n이 커질수록 그래프가 직선 y = b에 가까워지는 모습과 고정비 a를 바꿨을 때의 변화를 캡처해 보고서에 넣어 보세요.

확장 아이디어: 지방재정365 등 공개된 지자체 재정 자료로 인구 규모가 다른 시·군을 비교해 모형과 실제가 얼마나 맞는지 확인하고, 행정구역 통합이나 공동 서비스 운영 같은 정책 대안을 비교한다.

연계 전공: 행정학과, 도시계획·지리 관련 학과, 사회학과

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2. 소득이 늘었는데 손에 쥐는 돈은 줄었다? — 복지 수급 ‘절벽’과 불연속

한 줄 소개: 선정기준을 넘는 순간 지원이 한꺼번에 끊기는 제도를 불연속함수로 모델링해 봅니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 함수의 연속 / 통합사회 사회 정의와 불평등

탐구 동기: “소득이 조금 늘면 지원이 끊겨서 오히려 손해”라는 이야기를 뉴스에서 접하고, 이를 수학적으로 확인해 보고 싶었다.

탐구 방법: 관심 있는 복지제도 하나를 골라 공식 선정기준을 확인하고, 가처분소득 D(x) = 소득 x + 지원금 B(x)로 식을 세운다. 기준선에서 좌극한과 우극한이 다르다는 것(불연속)을 보이고, 소득이 늘어도 D(x)가 줄어드는 구간을 찾는다.

그래프로 구현하기: 데스모스의 구간별 함수 입력 기능(예: {x < c: 식1, x ≥ c: 식2})으로 D(x)를 그리면 기준선에서 그래프가 끊기는 지점이 한눈에 보입니다. 끊긴 부분을 확대한 캡처가 불연속의 가장 좋은 증거입니다.

확장 아이디어: 지원금이 서서히 줄어드는 ‘점감 방식’으로 바꾸면 D(x)가 연속함수가 된다는 점을 보이고, 정책 설계 대안으로 제안한다(4번 주제와 연결).

연계 전공: 사회복지학과, 행정학과

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3. 몇 명이 움직이면 모두가 움직일까? — 사이값 정리로 본 집단행동 문턱 모형

한 줄 소개: 사회학자 그라노베터의 문턱 모형(1978)에서 ‘균형점’이 반드시 존재함을 사이값 정리로 설명합니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 연속함수의 성질(사이값 정리) / 사회와 문화 사회 집단

탐구 동기: 캠페인이나 유행이 어느 순간 폭발적으로 퍼지는 현상이 어떤 조건에서 일어나는지 궁금했다.

탐구 방법: 익명 설문으로 “학급의 몇 %가 참여하면 나도 참여하겠는가”를 조사해 누적 비율 함수 F(x)를 만든다. g(x) = F(x) − x로 두고 구간 양 끝의 부호가 다르면 사이값 정리에 따라 F(x) = x인 균형점이 존재함을 보인다.

그래프로 구현하기: 지오지브라에 설문 결과를 점으로 찍어 F(x)를 그리고 직선 y = x를 함께 표시해 보세요. 두 그래프의 교점이 곧 균형점이며, 점 하나를 옮기면 교점이 어떻게 달라지는지 캡처로 비교할 수 있습니다.

확장 아이디어: 문턱값이 낮은 사람 한두 명을 바꿨을 때 균형점이 크게 이동하는지 시뮬레이션해 ‘작은 차이가 큰 결과를 낳는’ 사회 현상을 설명한다.

연계 전공: 사회학과, 심리학과

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Ⅱ. 미분 — 사회과학계열 탐구주제

4. 근로장려금 그래프는 왜 꺾일까 — 연속이지만 미분 불가능한 점

한 줄 소개: 점증·평탄·점감 구간으로 이뤄진 근로장려금 구조에서 기울기의 의미를 해석합니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 미분가능성과 연속성, 미분계수

탐구 동기: 연속과 미분가능성의 차이를 배우면서, 그래프가 ‘뾰족하게 꺾이는 점’이 현실 제도에도 있는지 찾아보고 싶었다.

탐구 방법: 국세청이 공개한 해당 연도 근로장려금 산정 기준으로 구간별 함수를 세운다. 구간 경계에서 함숫값은 이어지지만(연속) 좌·우 미분계수가 달라 미분 불가능함을 보이고, 점감 구간의 기울기를 “소득 1만 원 증가 시 장려금 감소액”, 즉 한계실효세율로 해석한다.

그래프로 구현하기: 데스모스에 구간별 함수로 근로장려금 그래프를 그리고 꺾이는 점을 확대해 보세요. 좌우 기울기를 각각 직선으로 겹쳐 그리면 ‘연속이지만 미분 불가능’한 이유가 시각적으로 드러납니다.

확장 아이디어: 2번 주제의 ‘절벽형’ 제도와 비교해 근로 의욕에 미치는 영향을 논증하는 정책 비교 보고서로 발전시킨다.

연계 전공: 사회복지학과, 행정학과, 경제학과

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5. 가짜뉴스는 언제 가장 빠르게 퍼질까 — 순간변화율로 본 확산 곡선

한 줄 소개: 누적 공유 수 그래프를 다항함수로 근사하고 도함수로 확산 속도가 최대인 시점을 찾습니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 평균변화율과 순간변화율, 도함수

탐구 동기: 허위 정보는 초기 대응이 중요하다는 기사를 읽고, ‘초기’가 수학적으로 언제인지 정의해 보고 싶었다.

탐구 방법: 특정 이슈의 시간대별 검색량(예: 구글 트렌드)이나 게시물 누적 조회 수를 기록해 3차함수로 근사한다. 도함수 f′(t)를 구해 확산 속도 그래프를 그리고, f′(t)가 최대가 되는 시점을 찾아 팩트체크가 개입해야 할 ‘골든타임’을 해석한다.

그래프로 구현하기: 데스모스 표에 시간과 누적 값을 입력하고 y₁ ~ at₁³ + bt₁² + ct₁ + d 형태의 회귀식을 쓰면 3차 근사식이 자동으로 구해집니다. 도함수 그래프를 같은 화면에 겹쳐 캡처하면 ‘속도가 가장 빠른 순간’이 선명하게 보입니다.

확장 아이디어: 실제 확산은 로지스틱(S자) 곡선에 더 가까운 경우가 많으므로, 미적분Ⅱ에서 지수함수를 배운 뒤 모형을 비교하는 후속 탐구로 이어간다.

연계 전공: 미디어커뮤니케이션학과, 사회학과

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6. 출생아 수 감소는 빨라지고 있을까, 느려지고 있을까

한 줄 소개: 통계청 인구 데이터로 구간별 평균변화율과 추세선의 도함수를 비교합니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 평균변화율, 함수의 증가와 감소 / 통합사회 인구 문제

탐구 동기: 저출생 뉴스에서 “감소”와 “반등”이 번갈아 등장하는데, ‘양’과 ‘변화의 속도’를 구분해야 한다는 생각이 들었다.

탐구 방법: 국가통계포털(KOSIS)에서 연도별 출생아 수를 내려받아 5년 단위 평균변화율을 계산한다. 이어서 다항 추세선을 구해 도함수의 부호와 크기로 감소 속도의 변화를 해석한다.

그래프로 구현하기: 지오지브라 스프레드시트에 연도별 자료를 붙여 넣고 FitPoly 명령으로 추세선을 구한 뒤, Tangent 명령으로 여러 연도의 접선을 그려 기울기를 비교해 캡처해 보세요.

확장 아이디어: 추세선을 미래로 연장한 예측이 왜 위험한지(정책·사회 변화 미반영) 한계를 함께 서술하면 비판적 사고를 보여줄 수 있다. 시·도별 비교로 지역 소멸 문제와도 연결할 수 있다.

연계 전공: 사회학과, 행정학과, 도시·지리 관련 학과

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7. 적당한 긴장은 성적을 올릴까 — 여키스-도슨 법칙과 극대

한 줄 소개: 각성 수준과 수행의 역U자 관계를 이차함수로 모델링해 ‘최적 긴장도’를 찾습니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 도함수의 활용(극대·극소, 최댓값)

탐구 동기: 시험 직전 너무 긴장해도, 너무 여유로워도 결과가 좋지 않았던 경험에서 출발했다.

탐구 방법: 여키스와 도슨(1908)의 연구를 조사한 뒤, 동의를 받은 익명 설문으로 ‘시험 전 긴장도 자기평정’과 ‘체감 수행도’를 수집한다. 이차함수로 근사해 도함수가 0이 되는 지점(극대)을 구하고 의미를 해석한다.

그래프로 구현하기: 설문 결과를 데스모스 표에 넣고 이차 회귀(y₁ ~ ax₁² + bx₁ + c)를 적용하면 꼭짓점 좌표가 자동으로 표시됩니다. 미분으로 직접 구한 극대점과 일치하는지 확인하는 과정을 보고서에 담아 보세요.

확장 아이디어: 표본 크기, 자기보고식 측정의 한계, 상관과 인과의 차이를 짚으면 심리학 연구방법론에 대한 이해를 드러낼 수 있다.

연계 전공: 심리학과, 교육학과

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Ⅲ. 적분 — 사회과학계열 탐구주제

8. 불평등을 넓이로 재다 — 로렌츠 곡선과 지니계수

한 줄 소개: 지니계수가 두 곡선 사이 넓이로 정의된다는 점을 정적분으로 직접 계산합니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 정적분의 활용(두 곡선 사이의 넓이) / 통합사회 사회 정의와 불평등

탐구 동기: 뉴스 속 지니계수가 0과 1 사이 숫자라는 것만 알고, 어떻게 계산되는지는 몰랐다.

탐구 방법: 로렌츠 곡선을 L(x) = x², x³처럼 다항함수로 가정하고 지니계수 G = 1 − 2∫₀¹L(x)dx를 계산한다(예: L(x) = x²이면 G = 1/3). 곡선이 아래로 처질수록 G가 커지는 이유를 그래프로 설명한다.

그래프로 구현하기: 데스모스에 x² ≤ y ≤ x {0 ≤ x ≤ 1}을 입력하면 불평등 영역이 음영으로 표시되고, ∫ 기호로 넓이도 바로 계산할 수 있습니다. x², x³, x⁴를 차례로 비교한 캡처를 넣으면 설득력이 커집니다.

확장 아이디어: KOSIS의 소득 5분위 자료로 로렌츠 곡선을 직접 그리고, 사다리꼴 넓이로 근사한 값과 공식 지니계수를 비교한다. 시장소득과 처분가능소득의 차이로 재분배 효과를 해석할 수도 있다.

연계 전공: 사회학과, 사회복지학과, 경제학과

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9. 정당은 왜 중도로 모일까 — 중위투표자 정리를 적분과 미분으로

한 줄 소개: 유권자 이념 분포를 적분해 득표율 함수를 만들고, 미분으로 최적의 공약 위치를 찾습니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 정적분으로 정의된 함수, 도함수의 활용 / 정치 정치 과정과 참여

탐구 동기: 선거가 다가올수록 여야 공약이 비슷해진다는 분석을 읽고, 이를 수학적으로 설명한 이론이 있는지 찾아보았다.

탐구 방법: 유권자 이념 분포를 f(x) = 6x(1 − x) (0 ≤ x ≤ 1)로 두고, 두 정당 위치의 중점까지 f(x)를 적분해 득표율 함수 S(a)를 만든다. S(a)를 미분해 득표율이 커지는 방향을 확인하면, 정당이 분포의 중앙값 쪽으로 이동한다는 다운스(1957)의 결론을 재현할 수 있다.

그래프로 구현하기: 지오지브라에서 정당 A의 위치 a를 슬라이더로 만들고 Integral 명령으로 득표율 S(a)를 표시해 보세요. 슬라이더를 움직이며 득표율이 최대가 되는 위치를 찾는 화면을 캡처하면 미분 결과를 시각적으로 검증할 수 있습니다.

확장 아이디어: f(x) = 12x(1 − x)²처럼 한쪽으로 치우친 분포로 바꾸면 중앙값이 0.5에서 벗어나는 것을 확인하고, 양극화·기권·다당제에서는 이론이 왜 잘 맞지 않는지 토론한다. 한국갤럽이 공개하는 주관적 정치 성향(보수·중도·진보) 비율과 가정한 분포를 비교해 보는 것도 좋다.

연계 전공: 정치외교학과, 행정학과

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10. 출근길 지하철엔 몇 명이 탈까 — 유입률을 적분해 누적 승객 구하기

한 줄 소개: 시간대별 승차 인원(변화율)을 적분해 누적 이용객을 구하고 교통 정책에 적용합니다.

연결 과목·단원: 미적분Ⅰ 정적분의 활용(변화율과 변화량) / 통합사회 생활공간과 사회

탐구 동기: 속도를 적분하면 이동 거리가 된다는 원리가 ‘사람의 흐름’에도 적용되는지 궁금했다.

탐구 방법: 서울 열린데이터광장 등의 지하철 시간대별 승하차 자료에서 한 역의 승차 인원을 골라 시간당 유입률 r(t)를 다항함수로 근사한다. 출근 시간대에 대해 ∫r(t)dt를 계산해 실제 합계와 비교하고, 오차 원인을 분석한다.

그래프로 구현하기: 데스모스에서 회귀로 r(t)를 구한 뒤 ∫ 기호로 출근 시간대 구간의 정적분 값을 계산하고, 그래프 아래 넓이를 음영으로 표시한 캡처를 보고서에 넣어 보세요.

확장 아이디어: 승차와 하차의 차이를 적분해 역 주변의 ‘순유입 인구’를 구하고, 주거지형·업무지구형 역을 비교해 배차 간격이나 시차 출퇴근 정책을 제안한다.

연계 전공: 행정학과, 도시계획·지리 관련 학과, 사회학과

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미적분1 탐구 보고서 필수 목차 — ‘모델의 한계’가 핵심입니다

사회과학계열 학생의 미적분 탐구에서 가장 흔한 실수는 수학은 빠지고 사회 이슈 설명만 남는 것입니다. 반대로 계산만 있고 사회적 해석이 없으면 전공 적합성이 드러나지 않습니다. 위 10개 주제 중 무엇을 고르든 보고서는 아래 목차를 따라 구성해 보세요.

1. 탐구 동기 — 어떤 사회 현상에서 질문이 시작되었는가
2. 수학적 모델 설정 — 변수를 무엇으로 두고 어떤 함수로 나타냈는가
3. 그래프 구현과 계산 — 데스모스·지오지브라 캡처와 극한·미분·적분 과정
4. 사회적 의미 해석 — 계산 결과가 정책·제도·행동에 대해 말해 주는 것
5. 모델의 한계와 오차 — 내 모델이 현실과 어디서, 왜 어긋나는가
6. 후속 탐구 계획 — 한계를 보완하려면 무엇을 더 배우고 조사해야 하는가

왜 ‘모델의 한계’를 꼭 써야 할까

가짜뉴스 확산이나 인구 변화 같은 사회 현상은 실제로는 지수함수나 로지스틱(S자) 곡선에 가까운 경우가 많습니다. 하지만 미적분Ⅰ은 다항함수 중심이라, 탐구에서는 3차·4차 다항함수로 근사(approximation)하게 됩니다.

이때 생기는 오차를 숨기지 말고 결론에 정면으로 적는 것이 보고서의 완성도를 결정합니다.

예를 들어 확산 곡선은 시간이 지나면 일정한 값에서 멈추지만, 다항함수는 t가 한없이 커질 때 극한이 +∞ 또는 −∞로 발산합니다. 그래서 데이터가 있는 구간 안에서는 잘 맞던 식이 구간 밖에서는 조회 수가 끝없이 늘거나 출생아 수가 음수가 되는 비현실적인 결과를 냅니다.

1단원에서 배운 극한 개념으로 이 차이를 설명하면 탐구가 교과 내용과 단단히 연결됩니다. 결론에는 다음 네 가지를 적어 보세요.

• 근사식이 잘 맞는 구간은 어디까지인가
• 실제값과 근사값의 차이(오차)를 표로 정리하면 어떤가
• 오차가 생긴 원인은 무엇인가(함수 형태, 데이터 부족, 정책 변화 등)
• 미적분Ⅱ에서 지수함수의 미분을 배운 뒤 모델을 어떻게 개선할 것인가

학생 제출 자료를 어떻게 정리하면 좋은지는 자기평가서·활동보고서 작성법에서, 일반선택 과목 세특의 특징은 일반선택·진로선택·융합선택 과목 유형별 세특 전략에서 자세히 확인할 수 있습니다.

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